Sensibilità dei modelli alle C.I.: piccolo esempio

[Ghiaccio96]

Spesso parliamo di incertezza dei modelli dovuta,oltre che ad approssimazioni numeriche dovute al calcolo computazionale,in primo luogo alla estrema sensibilità dei modelli per le condizioni iniziali,ossia per i dati che arrivano dalle stazioni sparse in tutto il mondo.

Volevo riportare un esempio per far vedere come ciò avviene.

Questo è un pezzo di esonero di calcolo 2.

Si dà un'equazione differenziale del secondo ordine (non a caso non lineare,come quelle dei nostri modelli):
X**(t)= 2X*(t)sen(X(t))cos(X(t))
Due asterischi stanno per derivata seconda,un asterisco per derivata prima.

Per prima cosa dobbiamo ricondurre questa equazione del secondo ordine ad una del primo per la quale si può cercare poi la soluzione in base alle condizioni iniziali (C.I)

Scriviamo dunque

d/dt (X*(t)+cos^2(X(t)) )=0

Con un'integrazione ci siamo ricondotti ad un'equazione del primo ordine (credo che i conti tornino...)

Come imponiamo ora le C.I.?

Per le equazioni del primo ordine che non vengono da una del secondo solitamente è sufficiente risolverle,di solito a variabili separabili,ossia portare al primo membro dell'equazione tutto ciò in cui compare la variabile X(t),a secondo tutto ciò in cui compare t,integrare ambo i membri nelle loro variabili ottenendo un'espressione in X(t) al primo membro,una in t al secondo ed esplicitare la X(t). Si otterrà una funzione più una costante C generica che si determina con una sola condizione iniziale sostituendo t e X(t). Nelle equazioni del primo ordine che non vengono dal secondo dunque la soluzione in base alla condizione iniziale cambia di una costante.

Ecco cosa succede invece nel nostro caso:

L'espressione sopra,che credo si chiami già integrale primo, non può essere trattata come le normali equazioni del primo ordine. C'è un d/dt davanti tutta l'espressione.

Per imporre la condizione iniziale dobbiamo prendere quel l'espressione tra parentesi,sostituire il dato e vedere quanto fa quell'espressione. Il risultato sarà eguagliato a quell'integrale primo ottenendo così una nuova equazione differenziale del primo ordine a variabili separabili.

Esempio: imponiamo due condizioni,la prima (0,-1),la seconda (pi/2,1) dove pi/2 sta per "pi greco/2"

Caso (0,-1):
Integrale primo: X*(t)+cos^2(X(t)) ==> I(0,-1)= -1+cos^2(0)=0
Dunque l'equazione del primo ordine ottenuta è X*(t)+cos^2(X(t))=0. Per risolverla portate il coseno a destra dell'uguale,dividete per quella stessa roba ambo i membri e quindi a sinistra dovete integrare 1/cos^2 che è tangente,a destra integrate 1 in dt esplicitate X(t) e avete trovato l'equazione che vi permette la previsione.

Caso (pi/2,1)

Integrale primo: X*(t)+cos^2(X(t)) ==> I(pi/2,1)= 1+ cos^2(pi/2)=1
L'equazione selezionata qui è X*(t)+cos^2(X(t))=1. Per risolverla ottenete X*(t)= 1-cos^2(X(t)) ==>
==>X*(t)/1-cos^2(X(t))=1. Ora di nuovo va fatto l'integrale di ambo i membri. Arrivati a questo punto quando dovete integrare,se vi piace di più quel X*(t) sarebbe il tipico dx dell'integrale.

Notate che sono state selezionate due previsioni completamente diverse.
Nel primo caso avete l'integrale di 1/cos^2 che vi dà tan(X(t)),esplicitando la funzione X(t) (che sarebbe quella che di solito si chiama y nella funzione) ottenete dunque una funzione arcotangente.
Nel secondo avete l'integrale di 1/1-cos^2.

Dovrebbe essere questo quello che succede nei modelli. Ovviamente in analisi 2 si lavora solo con numeri interi,i conti con decimi e centesimi li si lascia al calcolatore.

Spero che sia comprensibile

[Ghiaccio96]

Ah,un altro modo per selezionare una soluzione all'equazione differenziale nelle equazioni differenziali alle derivate parziali (di cui fanno parte le navier-stokes usate dai nostri modelli,quindi non soltanto del secondo ordine come ho detto sopra) è usare le trasformate di fourier,per esempio nell'equazione del calore,ma qui non mi esprimo

[Burian]

Molto interessante e didattico anche se sfido che sia comprensibile ai più non perché sia scritto male ma piuttosto perché la fisica è una materia sconosciuta alla maggior parte delle persone.

[Ghiaccio96]

L'importante è che si noti che al variare del dato iniziale cambia la funzione da integrare per risolvere l'equazione del primo ordine a variabili separabili,si deve notare la selezione della soluzione,ossia inserisco una certa coppia (X,X*) in I(X,X*) e cambia tutto. Come si fanno i conti è fuffa

[Burian]

Grazie delle spiegazioni, roba da 1a elementare insomma .